浅谈数学核心素养在课堂教学中的落实

          ―――人教版小学数学五下年级《找次品》课例分享

                        岱山实验学校    王肖峰

  教育部在《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》文件中，提出了创建“核心素养体系”的任务。核心素养被誉为当代基础教育的DNA。《义务教育数学课程标准》前言中指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，只有找到人发展的核心素养体系，才能解决有限与无限的矛盾，为学生未来发展预留足够的空间，这里所说的核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品质和关键能力。

一、不同专家对数学核心素养的解释各不相同

▲（张奠宙）数学核心素养包括“真、善、美”三个维度。(1)理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；(2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；(3)能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学。

▲（郑毓信，《小学数学教师》，2016年第3期，“聚焦‘数学核心素养’”，）“数学教育主要应当促使学生更为积极地去进行思考，并能通过数学学习学会思维，特别是，即能逐步学会想得更深、更合理、更清晰，更全面。”

▲曹培英《小学数学课程核心词演变的回顾、反思与展望》核心素养具有整体性、综合性和系统连贯性，需要凸显跨学科的共同素养。数学的核心素养，必须体现数学学科的本质，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想“抽象、推理和模型”。这三种基本思想分别对应三种具有一般意义的能力，即抽象能力、推理能力和应用能力。

　▲2015.6《新世纪小学数学》数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”

▲教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长、博士生导师王尚志教授提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。

▲小学数学课程标准中的10个核心词＝数学核心素养（有专家认同，有专家不认同）

▲德国物理学家劳厄指出重要的不是获得知识，而是发展思维能力，教育无非是一切已学过的东西都遗忘后所剩下的东西。学生学习数学后还剩下什么？不是那些具体的知识，而是数学的核心素养和理性的思辨精神，这些具有普遍的适用性和广泛的可迁移性，正是它们，在漫长的人生过程中发挥着巨大的作用，直接影响着一个人的事业高度乃至人生质量。

纵观上述专家对于数学核心素养的解释，虽然表述不同，但所表达的意思是相同的，就是培养学生的数学思维能力。

二、分享《找次品》这一课例中如何培养学生的数学思维能力。

1.教材分析

“找次品”这一内容的教学，围绕在N个从外表看完全相同的零件，其中一个是次品，次品比合格品重或轻一些，假如用没有砝码的天平称，至少称几次就能保证找出这个次品？这一问题展开教学，其目的是通过“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，再通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养学生观察、分析、推理以及解决问题的能力，同时也让学生感受到数学与日常生活的密切联系。找次品问题优化的本质是每一次称重都要将次品限制在最小的范围内，解决找次品问题的一般方法是把这N个物品尽可能平均分成3份，这是由天平的特点决定的，因为天平有两个托盘，所以次品的位置无外乎三个地方，托盘左边，托盘右边和天平外面。天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个，而要使称量的次数最少，每次称量后，就应把次品确定在更小的范围内，要做到这一点，就应使三个位置放的物品的个数尽量同样多。为了让学生理解尽可能将待测物品平均分成3份的合理性，教材也进行了改编，2003版的教材，有两个例题，例1是从5个数量中找次品，例2是从9个数量中找次品。再看看2011版的省新教材培训时所拷贝的电子课本中，例1是3个数量，例2是9个数量，而现行的教材中例1是3个数量，例2是8个数量，在解决例2后出示了“如果9个零件中有一个次品，至少称几次能保证找出次品”这样一个问题。

2.教学回顾（先与大家回顾一下我的教学过程）

第一环节： 激趣导入，理解“没有砝码的天平”怎么称用最少的次品一定找到次品？

第二环节：从2个，3个物品中找次品。

1．2个球。次品一定在左边或右边，告诉学生记录的方法（符号化）

2．3个球。指出“如果天平平衡”……那么次品在……“如果天平不平衡”……那么次品在……。渗透推理能力。教给学生用符号来记录称的过程

3．比较。2个球或3个球，都是一次找到次品。为什么球的数量增加了，称的次数还是一样的？

第三环节：从8个、9个物品中找次品

1．8个球你能找出那个次品吗？尝试用图示表达思考过程。学生小组合作讨论，反馈，演示，讨论表格仔细观察，哪种分法找到次品的次数是最少的？

2．9个球。你能用最少的次数找出次品吗？学生独立练习。质疑：都把9个乒乓球分成了三份，为什么所称的次数不一样呢？微课。你知道为什么要平均分成3份了吗？那如果像8这样不能平均分成3份，怎么办呢？

第四环节：验证、反思、推广（在10、11个、81个物品中找次品，验证发现的规律）

3.这节课要让学生学什么？

1）关于抽象与直观的思想与方法。抽象是数学的基本思想之一，在数学的学习中数学抽象无处不在，理解数学的抽象，有时又需要数学直观作为形象支撑。本课中找次品所用的天平模型就是数学抽象与数学直观的完美结合。虽然我们的任务是从若干球中把稍轻的一个球找出来，但又不能动手，只能动脑，虽然我们要用天平作为解决问题的工具，但又不能用生活中的天平进行真实的称量，而只能利用天平模型进行假想的称量。因为即使拿一架零误差的天平进行实际称量，出现的结果要么是平衡，要么是不平衡，而不会出现，如果平衡……，如果不平衡……的情形，这就决定了学生需要在头脑中建立一个天平模型，这一模型既是抽象的，又是直观的。其抽象性体现在它是一架虚构的天平，可以实现零误差，其直观性体现在它可以帮助学生在头脑中想象，这架天平平衡与不平衡时的形象画面。因此，本课中的抽象不是纯粹意义上的抽象，而是直观的抽象。直观，也不是操作意义上的直观，而是抽象的直观。数学是思维的体操在本课中得到了充分的体现。

  2）关于推理的思想与方法。数学的主要方法是逻辑的推理。课标2011年版也明确指出，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。本课的学习中只包含了大量形如：如果……那么……的演绎推理，也包含了从若干特殊实例中得出一般性结论的归纳推理。如3个球中找次品，2个球平衡，次品就在外面。师提问：这个球你没有称过，怎么知道是次品？本课自始至终紧紧围绕既要保证找出次品，又要用最少的次数这两个基本问题，让学生经历推理的过程，掌握推理的方法，体会推理的思想。每一次找次品的过程都是演绎推理的应用过程。而在一次次找次品的过程中，通过比较分析，猜想验证，发现找出次品的最优方案则是一个归纳推理的过程。对于每次称量时都把含有次品的球尽量平均分成三份的最优方案，虽然由于知识所限，无法给出严格的数学证明，但可以借助一些特殊问题，通过不完全归纳的方法推理得到。例如，在解决从8个球中找次品，有分成2、3、4、8份等方案，推理得出分成3份称的次数最少。9个球中找次品等具体问题时，通过各种方案的对比，为什么同样分成3份，有的称2次，有的却要称3次？再借助微课把方案列齐全，归纳出要把物品数量尽量平均分成三份，总结出最优方案的特点，这就是归纳推理的思想和方法的自觉运用。

 3）关于化归的思想和方法。在本节课找次品问题中，把从81个球中找次品的问题，转化为从27个球中找次品，把从27个球中找次品的问题继续转化为从9个球中找次品。最终归结到是在2个或3个物体里找次品。老师及时把手势指向板书，不仅节约了教学时间，更是化归思想得到了充分体现。

4）关于优化的思想。

这节课到底选择几个物品来进行研究，若选择原来教材中的在5个里面找次品这一材料，我们发现5个只能分成三份（1、1、3）（2、2、1）），都要称2次找到次品，没有典型性，突不出三份的优势。如果选择6个球进行研究，第一次称分3份还是2份的方案，称得的次数是相同的，而这种巧合会把学生引入歧途。因此选择多少个球进行研究尤为重要。老师选择从8个球，9个球中找次品，引导学生自主探究最优方案。在学生讲述推理过程的时候，老师多次强调，天平外面也是一份，最后得出分成3份并不是最优方案的关键，关键的是3份要尽量接近。

4.这节课怎样学呢？

这节课我认为主要体现在：在问题驱动下进行小组探究学习。也就是在问题中学，在探究中学，在交流中学。如果把找次品的问题的最优解决方案直接告诉学生再加以反复练习，相信学生再次遇到类似的问题时，解决起来也能达到驾轻就熟的程度。但如果不让学生亲历探究的过程，学生得到的只是一个结果，而失去了发展问题解决能力的机会。在探究的过程中，教师放手，学生积极参与，通过猜想、尝试、比较、归纳让学生知道了什么情况下天平一定不平衡，什么情况下天平可能平衡可能不平衡，知道了什么是保证找到次品的次数，知道了要保证找出次品可以有许多不同的方案，所用的次数是不同的。知道了对于不同个数的乒乓球，要用最少的次数找出次品是有一般性规律可循的。经历了这样的探究过程之后，再回过头来重新审视一开始觉得难度很大的从81个球中找次品的问题，一定会有一种别样的感觉。从无处着手到轻松拿下，其实并不遥远，中间相隔的只是一段探究的旅程。在这一过程中，学生经历了拨开云雾见青天，经历了柳暗花明又一村，通过师生的合作，不仅寻找到了最优的称量方案，还在寻找最优方案的过程中，掌握了数学的基本技能，理解了数学的基本思想，积累了数学的基本活动经验。与解决找次品问题这一具体目标相比，这些过程性目标的达成，对学生的数学学习乃至终身的发展具有更深远的意义。